Versicherungsmathematik : mit 16 Tabellen by Klaus D Schmidt

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F¨ ur eine Zufallsvariable X : Ω → R ist also jede der oben angegebenen Mengen ein Ereignis. F¨ ur ω ∈ Ω heißt X(ω) Realisation von X . Sei X : Ω → R eine Zufallsvariable. Dann wird durch PX [B] := P [{X ∈ B}] eine Abbildung PX : B(R) → [0, 1] definiert. Die Abbildung PX heißt die Verteilung von X . 1 Lemma. Sei X : Ω → R eine Zufallsvariable. Dann ist die Verteilung PX von X ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Insbesondere ist (R, B(R), PX ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. ur alle B ∈ B(R) Beweis. Aus der Definition von PX ist klar, daß f¨ 0 ≤ PX [B] ≤ 1 gilt.

N −K)−(n−k))! N! (N −n)! N −K n−k N n K k (2) Ziehen mit Zur¨ ucklegen: Wir nehmen zus¨ atzlich an, die Kugeln seien numeriert derart, daß die Kugeln 1, . . , K rot und die Kugeln K + 1, . . , N andersfarbig sind. , N } mit m¨ oglicher Wiederholung und setzen F := 2Ω . Aufgrund der Annahme der Gleichartigkeit der Kugeln setzen wir f¨ ur alle ω ∈ Ω P [{ω}] := 1 |Ω| Dann ist (Ω, F, P ) ein symmetrischer Wahrscheinlichkeitsraum. Daher gilt f¨ ur jedes Ereignis E ∈ F P [E] = |E| |Ω| F¨ ur k ∈ {0, 1, .

So gilt Rn [A] = 1 f¨ – Ergibt sich bei einer unendlichen Folge von Versuchen immer die Augenzahl 3 , ur alle n ∈ N ; daher sollte W [A] = 0 gelten. so gilt Rn [A] = 0 f¨ Diese beiden extremen F¨alle, die erfahrungsgem¨aß nur selten vorkommen, f¨ uhren zu widerspr¨ uchlichen Bestimmungen von W [A] . Das Beispiel zeigt, daß die Ableitung einer festen Zahl W [A] aus der Folge der zuf¨alligen relativen H¨aufigkeiten Rn [A] eines Ereignisses A ∈ F auf schwachen F¨ ußen steht. Wir machen daher einen gedanklichen Sprung und ordnen jedem Ereignis A ∈ F eine feste Zahl P [A] zu, derart, daß die Gesamtheit der Zahlen P [A] mit A ∈ F die gleichen Eigenschaften besitzt wie die Gesamtheit der zuf¨alligen relativen H¨aufigkeiten Rn [A] mit A ∈ F.

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