Numerik linearer Gleichungssysteme: Eine Einführung in by Andreas Meister

By Andreas Meister

Das Ziel dieses Buches ist eine umfassende Einführung in die Lösung großer Gleichungssysteme. Neben direkten Algorithmen wird von den Splitting-Methoden über Mehrgitterverfahren bis hin zu den aktuellen Krylov-Unterraum-Verfahren (CG, GMRES, BiCGSTAB etc.) eine große Bandbreite klassischer und moderner Gleichungssystemlöser vorgestellt und deren Wirkung sowohl mathematisch als auch in praktischen Anwendungen diskutiert. Desweiteren werden ausführlich Präkonditionierungsmethoden zur Beschleunigung bestehender Verfahren beschrieben.
Das Buch enthält alle benötigten Grundlagen, so dass es auch zum Selbststudium sehr intestine geeignet ist. Die gewählte Darstellung der hergeleiteten Algorithmen lässt zudem eine direkte Umsetzung in eine beliebige Programmiersprache zu. Für gängige Krylov-Methoden sind ausführliche MATLAB®-Implementierungen im Anhang aufgeführt. Lösungen und weitere Materialien werden on-line bereitgestellt.

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N gilt. Die aufgef¨ uhrten reellen Zahlen σi ( i = 1, . . ,n ) heißen singul¨are Werte der Matrix A und gen¨ ugen jeweils der Gleichung det AT A − σi2 I = 0. 3) Die i -te Spalte von U bzw. V heißt i -ter Links- bzw. Rechtssingul¨arvektor der Matrix A. Beweis: Da A regul¨ ar ist, liegt mit AT A eine symmetrische, positiv definite Matrix vor. 33 eine orthogonale Matrix V ∈ Rn×n derart, dass V T AT AV = diag{λ1 , . . ,λn } √ mit 0 < λ1 ≤ . . ≤ λn gilt. Definieren wir σi = λi , so erhalten wir 0 < σ1 ≤ .

N die Existenz von Vektoren q 1 , . . ,q k ∈ Cn mit (q i ,q j )2 = δij f¨ ur i,j = 1, . . 1) und span{q1 , . . ,q k } = span{a1 , . . 2) nachweisen, wobei aj (1 ≤ j ≤ k) den j -ten Spaltenvektor der Matrix A darstellt. 3) 2 erf¨ ullt. Seien nun q 1 , . . ,q k mit k ∈ {1, . . 2) erf¨ ullen, dann l¨asst sich jeder Vektor q k+1 ∈ span{a1 , . . ,ak+1 } \ span{q 1 , . . 5) i=1 mit ck+1 = 0 schreiben. Motiviert durch (q k+1 ,q j )2 = ck+1 (ak+1 ,q j )2 − cj f¨ ur j = 1, . . 5) ci := (ak+1 ,q i )2 f¨ ur i = 1, .

36 Zu jeder Matrix A ∈ Cn×n und zu jedem ε > 0 existiert eine Norm auf Cn×n , so dass A ≤ ρ(A) + ε gilt. Beweis: F¨ ur n = 1 ist die Aussage ebenso trivial wie daher n ≥ 2 und A ungleich der Nullmatrix. einer unit¨ aren Matrix U ∈ Cn×n mit ⎛ r11 ⎜ ∗ R = U AU = ⎝ f¨ ur jede Nullmatrix A ∈ Cn×n . Seien Der Satz von Schur liefert die Existenz ... . ⎞ r1n .. ⎟ , . ⎠ rnn wobei λi = rii , i = 1, . . ,n die Eigenwerte von A sind. ,n |rik | > 0 , 24 2 Grundlagen der linearen Algebra δ := min 1, ⎛ Mit ε (n − 1)α > 0.

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