Lineare Operatoren in Hilberträumen: Teil 1 Grundlagen by Joachim Weidmann

By Joachim Weidmann

Seit Erscheinen meines Buches "Lineare Operatoren in Hilberträumen" [38] im Jahre 1976 und dessen englischer Übersetzung [39] im Jahre 1980 haben mich viele freundliche Stellungnahmen erreicht. Häufig wurde aber auch bedauert, daß die Anwendungen auf Differentialoperatoren der Quantenme­ chanik und auf die Streutheorie aus Gründen des Umfangs nur sehr un­ befriedigend behandelt werden konnten. Dieser Mangel soll jetzt behoben werden. Dazu ist allerdings die Verteilung des Stoffes auf zwei Bände nötig geworden. Ich bin Herrn Dr. P. Spuhler vom Teubner-Verlag sehr dankbar dafür, daß er diesen Plan von Anfang an unterstützte. Der vorliegende erste Teil soll die Grundlagen der Theorie darstellen; Anwen­ dungen treten hier nur in shape von illustrativen Beispielen auf. Dabei hat es auf Hilberträume zu be­ sich als nützlich erwiesen, sich nicht von Anfang an schränken, sondern, soweit dies die Darstellung nicht zu sehr belastet, auch allgemeinere normierte oder Banachräume zu betrachten. Dieser erste Band sollte deshalb eine für Mathematiker und Physiker nützliche Einführung in die Grundlagen der Funktionalanalysis und der Hilbertraumtheorie bieten, die auch zum Selbststudium geeignet ist. Als Voraussetzung zur Lektüre soll­ te dabei der Stoff der üblichen Anfängervorlesungen für Mathematiker oder Physiker und einige Kenntnisse aus der Funktionentheorie und der Theo­ rie der gewöhnlichen Differentialgleichungen genügen. Eine für diese Zwecke geeignete vollständige Einführung in die Lebesguesche Integration wird in Anhang A gegeben. Der geplante zweite Teil wird dann Anwendungen auf die gewöhnlichen und partiellen Differentialoperatoren der Quantenmechanik einschließlich einer Einführung in die Streutheorie enthalten.

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X ist vollständig: Sei (Xk) eine Cauchyfolge in X. Da E(X) dicht ist, existiert zu jedem kein Xk E X mit IlIxk - [xk]1I1 ::; l/k (wir betrachten von jetzt ab nur noch den Fall des normierten Raumes X; für metrische Räume geht es entsprechend). Wegen IIXk - xiii = III[Xk] - [xdlll ::; III[Xk] - xklll + IIlxk - xliII + Ilixi - [xdlll ::; ~ + IlIxk - xliII + } ist (Xk) eine Cauchyfolge in X, also [(Xk)] E X, und es gilt 1I1[(xn )] - xklll ::; 1I1[(xn )] - [xk]1I1 + III[Xk] - xklll ::; lim IIx n - xkll + -k1 -70 für k -7 00, n-+oo d.

1/2 1 Metrische Räume, normierte Räume und Hilberträume 34 b) Nach Teil a ist die Norm 11·11 stetig bezüglich 11·112. Sie nimmt also auf der (kompakten) I-Sphäre S bezüglich 11 ·112 ihr Minimum M > 0 an, d. h. für alle x E S gilt MllxII2 = M ~ IIxll. 30 Eine Teilmenge eines endlichdimensionalen normierten Raumes ist genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist. Eine Teilmenge M eines metrischen Raumes (X, d) heißt dicht in X, wenn jeder Punkt von X Limes einer Folge aus Mist (oder in anderen Worten: wenn X = M gilt; diese Definition ist auch in allgemeineren topologisehen Räumen sinnvoll).

B) Es genügt, den Fall M = X zu betrachten. Offenbar hat M 2 := Mt die gewünschte Eigenschaft. 49 Ist X = L 2(a, b) mit a < c< b, so gilt L 2(a, b) = L 2 (a, c) $ L2(C, b), wenn man L2(a, c) und L2(c, b) in natürlicher Weise als Teilräume von L 2 (a, b) auffaßt (vgl. 43a). 5 Orthogonalität die Teilräume der geraden bzw. ungeraden Funktionen. Dann gilt L 2 (-a, a) = L~( -a, a) EB L~( -a, a): Offensichtlich sind die beiden Teilräume orthogonal und für jedes I E L 2 ( -a, a) gilt 1= I g + Iv. (x):= ~{/(x) - I( -x)}, o wobei offenbar I g E L~( -a, a) und Iv.

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