Kompendium der ANALYSIS: Ein kompletter Bachelor-Kurs von by Prof. Dr. Robert Denk, Prof. Dr. Reinhard Racke (auth.)

By Prof. Dr. Robert Denk, Prof. Dr. Reinhard Racke (auth.)

Das zweibändige Werk umfasst den gesamten Stoff von in der „Analysis“ üblichen Vorlesungen für einen sechssemestrigen Bachelor-Studiengang der Mathematik. Die Bücher sind vorlesungsnah aufgebaut und bilden die Vorlesungen exakt ab. Jeder Band enthält Beispiele und zusätzlich ein Kapitel "Prüfungsvorbereitung", das Studierende auf mündliche und schriftliche Prüfungen vorbereiten soll. Das Werk ist ein Kompendium der research und eignet sich als Lehr- und Nachschlagewerk sowohl für Studierende als auch für Dozenten.

Band 1 eignet sich für Vorlesungen research I – III in den ersten drei Semestern:
- Differential- und Integralrechnung I und II (Funktionen einer und mehrerer Veränderlicher)
- Gewöhnliche Differentialgleichungen
Am Ende des Buches gibt es ein Kapitel zur Prüfungsvorbereitung.

Studierende der Mathematik an Universitäten im Bachelor-Studium
Dozenten als Grundlage zur Vorlesungsgestaltung

Prof. Dr. Robert Denk, Fachbereich Mathematik und Statistik, Universität Konstanz
Prof. Dr. Reinhard Racke, Fachbereich Mathematik und Statistik, Universität Konstanz

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580 – 500 v. Chr. Kapitel 6 Stellenwertsysteme und die Zahl e Worum geht’s? Ein kurzer R¨ uckblick auf die historische Entwicklung von Zahldarstellungen f¨ uhrt bis zu dem in Computern verwendeten Dualsystem. Einer der wichtigsten Zahlen – e – ist ein eigenes Kapitel gewidmet. Zum praktischen Arbeiten mit den reellen Zahlen ist eine geeignete Darstellung besonders wichtig. Die ¨altesten Darstellungen erfolgten durch Steine, Perlen oder Knoten. Dabei war der Zahlbegriff noch nicht abstrakt gefasst.

I) Tt := {∅, M } : triviale (gr¨ (ii) Td := P(M ) : diskrete (feinste) Topologie. (iii) F¨ ur einen metrischen Raum (X, d) ist T := {V ⊂ X| V ist offen in X} eine Topologie. Insbesondere ist somit jeder metrische Raum auch ein topologischer Raum. 4 Kompakte Mengen Wir werden in diesem Kapitel den Begriff kompakte Mengen“ f¨ ur metrische ” R¨ aume definieren und diskutieren. In R lassen sich kompakte Mengen besonders leicht charakterisieren. 34. Seien (X, d) ein metrischer Raum, Λ eine beliebige Indexur λ ∈ Λ offene Teilmengen von X und U := {Uλ | λ ∈ Λ}.

N Bew: Da (xn ) konvergiert und f gleichm¨aßig stetig ist, gilt: ∀δ > 0 ∃n1 (δ) ∀n, m ≥ n1 (δ) : |xn − xm | < δ und ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀xn , xm ∈ S, |xn − xm | < δ(ε) : |f (xn ) − f (xm )| < ε also ur n0 (ε) := ∀ε > 0 ∃n0 (ε) ∀n, m ≥ n0 (ε) : |f (xn ) − f (xm )| < ε f¨ n1 (δ(ε)). 2. Beh: f ist in S wohldefiniert. Bew: Seien (xn ) und (x∗n ) Folgen in S mit xn → a ← x∗n und f (x∗n ) → ur n → ∞. b∗ , f (xn ) → b f¨ Dann ist ur n ≥ n0 (ε). |b − b∗ | ≤ |b − f (xn )| + |f (xn ) − f (x∗n )| + |f (x∗n ) − b∗ | < ε f¨ ✷ Die Stetigkeit von f in a ist klar.

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