Ingenieur-Mathematik: Zweiter Band: Differentialgleichungen by Robert Sauer

By Robert Sauer

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1)~n-l)(x) an der Stelle X o nicht verschwindet, wenn also W (xo) =1= 0 ist. Sie ist dann im ganzen Intervall Ix - X oI ~ a von Null verschieden. Sind die n Lösungen linear abhängig, dann ist W (x) ~ 0 im ganzen Intervall Ix - xol ~ a. Im Falln= 2 ist W(x) =1)l(x) 1);(x) -1)2 (x) 1]~ (x). Aus W (x) - 0, also 1)~/1)1 = 1];/1)2 folgt sofort In 1]1 = In 1)2 const, also G1 1]1 G2 1)2 = O. 24. Geometrische Deutung der linearen Abhängigkeit (xo) = 0, .............. , 11); (xo) 1)~n-1)(xo) = 0, = 1, 11)~(xo) = 0, ..

Wir begnügen uns hier mit einem einfachen Beispiel: Die Differentialgleichung y" Y = Cl + y = °wird offenbar durch + C sin x COS X 2 erfüllt und diese Lösungen sind, wie wir später erkennen werden, die einzigen. Hieraus ergibt sich für das Anfangswertproblem y (0)=0, y' (0) = 1 die Lösung Y = sin X (Cl = 0, C2 = 1). - (Cl = C2 = 0), für b = n n dagegen die Lösungen y = C2 sin x (Cl = 0, C2 bleibt willkürlich). = n n, während im Fall b = n n die Konstante O2 unbestimmt bleibt. Das Beispiel zeigt, daß für Randwertprobleme nicht ein so einfacher Existenz- und Eindeutigkeitssatz gilt wie für Anfangswertprobleme.

44. Elementar integrierbare Klassen von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung Wir besprechen jetzt einige besondere Klassen von Differentialgleichungen, bei denen die Lösung auf Quadraturen, d. h. auf Integrale gegebener Funktionen zurückgeführt werden kann. 1 Separierbare Differentialgleichungen Es sei f(x, y) = X(x) . Y(y), die Veränderlichen seien also getrennt (separiert). 1) X(x) . 3) Yo Xo die Lösung y implizit als Funktion von x gegeben ist. Bildet man für diese Funktion y(x) nach GI.

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