Grundlagen der Numerischen Mathematik und des by Martin Hanke-Bourgeois

By Martin Hanke-Bourgeois

In dieser umfassenden Einf?hrung in die Numerische Mathematik wird konsequent der Anwendungsbezug dargestellt. Zudem werden dem Leser detaillierte Hinweise auf numerische Verfahren zur L?sung gew?hnlicher und partieller Differentialgleichungen gegeben. Erg?nzt um ein Kapitel zur Modellierung soll den Studierenden auf diesem Weg das Verst?ndnis f?r das L?sungsverhalten bei Differentialgleichungen erleichtert werden. Das Buch eignet sich daher sowohl als Vorlage f?r einen mehrsemestrigen Vorlesungszyklus zur Numerische Mathematik als auch f?r Modellierungsvorlesungen im Rahmen eines der neuen Studieng?nge im Bereich des Wissenschaftlichen Rechnens (Computational technological know-how and Engineering).

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Der Kern ist trivial, N(A) = {O}, falls A vollen Spaltenrang hat, d. h. falls Rang A = n. Im Raum lKn greifen wir gelegentlich auf die kartesische Basis {eI, ... , en } zurück, wobei ei = [Oij]j=l den Vektor bezeichnet, der in der i-ten Komponente eine Eins und ansonsten nur Nulleinträge enthält; Oij = { 1, 0, i =j, i #j, ist das sogenannte K ronecker-Symbol. Für die lineare Hülle von k Vektoren Zl! ,Zk verwenden wir die Notation span {Zl! : to span, umfassen). 1. Sei X ein Vektorraum über lK.

E<7(A· A) :s Verwenden sie dies für einen Beweis der Abschätzung IIAI12 IIAII F für alle A E lK mxn . (Alternativ folgt dies auch unmittelbar aus der Veträglichkeit der Frobeniusnorm mit der Euklidnorm. ) 11. Betrachten Sie die Bidiagonalmatrix (a) Weisen Sie die Abschätzung 1 :s IILI12 :s 2 nach. (b) Zeigen Sie, daß Konstanten c, C > 0 existieren mit cn :S IIL -1112 :S Cn. 14. 12. Seien 11 . 11M und 11 . 11 ein verträgliches Matrix-jVektornormpaar in lK nxn und lK n . Zeigen Sie: (a) 11111 M ~ 1 und condM(A) ~ 1 für jede nichtsinguläre Matrix A E lK nxn .

E<7(A· A) :s Verwenden sie dies für einen Beweis der Abschätzung IIAI12 IIAII F für alle A E lK mxn . (Alternativ folgt dies auch unmittelbar aus der Veträglichkeit der Frobeniusnorm mit der Euklidnorm. ) 11. Betrachten Sie die Bidiagonalmatrix (a) Weisen Sie die Abschätzung 1 :s IILI12 :s 2 nach. (b) Zeigen Sie, daß Konstanten c, C > 0 existieren mit cn :S IIL -1112 :S Cn. 14. 12. Seien 11 . 11M und 11 . 11 ein verträgliches Matrix-jVektornormpaar in lK nxn und lK n . Zeigen Sie: (a) 11111 M ~ 1 und condM(A) ~ 1 für jede nichtsinguläre Matrix A E lK nxn .

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