Finite-Elemente-Methode: Rechnergestützte Einführung, 2. by Peter Steinke

By Peter Steinke

Die ausführliche Darstellung und die rechnergestützte Vorgehensweise dieses Lehrbuchs ermöglichen einen einfachen Einstieg in die Finite-Elemente-Methode (FEM). Nach einer Einführung in die mathematischen Grundlagen werden das Verfahren von Ritz, elastostatische Probleme und Potentialprobleme behandelt. Ausführliche Beispiele erleichtern das Verständnis. Die zweite Auflage ist um dynamische Probleme, neue Elementtypen und eine Vielzahl von Beispielen erweitert. Das Buch ist für Studierende sowie für Ingenieure in der Praxis und für Physiker geeignet. Die beigefügte CD-ROM enthält die Lernsoftware CALL_for_FEM. Diese bedient sich der Computeralgebra und beschreibt die Ableitungen des Buches in verallgemeinerter shape. In der zweiten Auflage sind die Programme verbessert sowie neue Programme zur Dynamik und zu Potentialproblemen hinzugefügt worden. Das Programm FEM_GEN dient zur interaktiven Erstellung (Preprozessing) von FE-Problemen. Videoclips erläutern die Handhabung der Programme. Aktualisierungen der software program sind zu finden unter: http://www.fh-muenster.de/fb3/steinke/hilfe/updates/updates.htm

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4 sind einige Rechenregeln zur transponierten Matrix zusammengefaßt. 4 Orthogonale Matrix Orthogonale Matrizen sind Matrizen, deren Zeilen zueinander orthogonale Einheitsvektoren besitzen [20]. Dies trifft ebenfalls f¨ ur die Spalten zu. Die Tab. 5 erfaßt zwei Rechenregeln zur orthogonalen Matrix. 5. 4 Die Dyade (Tensor zweiter Stufe) Das dyadische Produkt : a b = (ax ex + ay ey + az ez ) (bx ex + by ey + bz ez ) (26) l¨ aßt sich durch Ausmultiplizieren der beiden Klammerausdr¨ ucke gewinnen. K = a b =ax bx ex ex + ax by ex ey + ax bz ex ez + ay b x e y e x + ay b y e y e y + ay b z e y e z + az bx ez ex + az by ez ey + az bz ez ez = ai aj ei ej = Kij (27) Die Koeffizienten der voranstehenden Gleichung lassen sich formal in einer (3 × 3)-Matrix schreiben: ⎤ ⎡ ax b x ⎢ ⎢ a b T = ⎢ ay b x ⎣ az b x ax b y ay b y az b y ax b z ⎤ ⎡ kxx ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ay bz ⎥ = ⎢ kyx ⎦ ⎣ az b z kzx kxy kyy kzy kxz ⎥ ⎥ kyz ⎥ = K ⎦ kzz (28) 28 2.

0 0 ... 2 Rechenregeln Addition und Subtraktion Zwei Matrizen A und B vom Typ (m,n) werden addiert (subtrahiert), indem man elementweise addiert (subtrahiert). Es gilt: cik = aik ± bik ∀ i = 1, 2, . . , m ; k =1, 2, . . 2. Rechenregeln zur Addition und Subtrak- tion von Matrizen Vorschrift A+B = B+A A + (B + C) = (A + B) + C Gesetz kommutativ assoziativ Die Tab. 2 enth¨ alt zwei Rechenregeln f¨ ur Matrizen. 3 Matrizen 25 In (21) ist ein Beispiel zur Addition zweier Matrizen angef¨ uhrt.

A11 a12 a13 ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ A + B = ⎢ a21 a22 a23 ⎥ + ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ a31 a32 a33 ⎡ a + b11 a12 + b12 ⎢ 11 ⎢ = ⎢ a21 + b21 a22 + b22 ⎣ a31 + b31 a32 + b32 ⎤ b11 b12 b21 b22 b31 b32 b13 ⎥ ⎥ b23 ⎥ ⎦ b33 ⎤ a13 + b13 ⎥ ⎥ a23 + b23 ⎥ = C ⎦ a33 + b33 (21) Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Eine Matrix wird mit einem Skalar multipliziert, indem man jedes Element der Matrix mit dem Skalar multipliziert. In Tab. 3 ist dieser Zusammenhang beschrieben. 3. Rechenregeln zur Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Vorschrift Gesetz kA=Ak kommutativ k(A ± B) = k A ± k B distributiv In (22) ist ein Beispiel zur Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar angef¨ uhrt: ⎡ ⎤ k a11 ⎢ ⎢ k A = ⎢ k a21 ⎣ k a31 k a12 k a22 k a32 k a13 ⎥ ⎥ k a23 ⎥ ⎦ k a33 (22) Multiplikation zweier Matrizen Unter dem Produkt A B einer (m, n)-Matrix A und einer (n, p)-Matrix B in der angegebenen Reihenfolge versteht man die (m, p)-Matrix C, deren Elemente cik sich aus dem Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der k-ten Spalte von B zusammensetzen [19].

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