Éléments de Mathématique: Integration -6. Chapitre 6 by N. Bourbaki

By N. Bourbaki

Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.

Ce sixième chaptire du Livre d Intégration, sixième Livre des éléments de mathématique, étend l. a. thought d intégration à des mesure à valeurs dans des espaces vectoriels de Hausdorff localement convexes.

Il contient également une word historique.

Ce quantity est une réimpression de l édition de 1959.

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Pour toute fonction f = 3; et toute fonction g = %,";, la fonction numérique ( f , g ) : t + ( f ( t ) , g ( t ) ) est essentiellement p-intégrable et o n a Pour toute classe g E Li;, soit O ( g ) la forme linéaire continue sur L: diduite par passage a u quotient de la forme linéaire f $i'(f, g ) dp sur il>; ; alors 0 est une isométrie linéaire de L;;, sur le dual fort (L;)' de l'espace de Banach Lk. Pour toute partie compacte K de T e t t o u t E > O, il existe une partie compacte K r de K telle que p ( K K r ) < E e t que larestriction de f (resp.

Lemme 3. - Soient T et X deux espaces localement compacts a bases dénombrables, p une mesure positive sur T, t -+ h une famille de mesures positives sur X. Si l'application t + h est scalairement pintégrable (pour la topologie o(3n-(X), X(X))), alors la famille t -+A, est p-adéquate (chap. V, 3, no 1, déf. 1). En effet, le lemme 1, appliqué à X(X), montre que l'application t + A, est vaguement p-mesurable ( $ 1, no 5, prop. 13). T et B deux espaces localement compacts ayant des bases dénombrables, p une mesure positive sur T, p une T H É O R È M E 1.

Désintégration des mesures 1 . ementà une application p-propre. Soit T un espace localement compact a y a n t une base dénombrable (en d'autres termes un espace localement compact polonais (Top. , chap. On sait que pour toute mesure positive sur T, les notions d'intégrale e t d'intégrale essentielle coïncident (chap. V, $ 2, no 2, Remarque 1). D'autre part, on a les propriétés suivantes : Lemme 1. - S i Y est un espace locale~nentcompact ayant nne base dénombrable, l'espace JC(Y) contient une partie dénombrabls partout dense.

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